임금체불관련 질문입니다. > 상담Q&A

저희 남편은 F2 비자로 대학에서 영어강사로 근무하고 있었습니다.
지난 5월 4일을 마지막으로 일을 그만두었습니다.
하지만 4월 임금과 5월의 4일간의 임금을 받지 못하고 있으며 연락해 보니 저희 남편에게 임금을 주지 않기 위해 노동부에 알아보고 있다고 합니다.

남편이 근무했던 곳은  서울 소재 한 대학의 EETM이라고 하는 멘토링 프로그램으로 3월 중순 시작하여 6월 초에 끝나는 약 2개월 반 동안의 단기 계약이었습니다.
문제는 프로그램 운영측이 학생들의 수강 취소와 환불을 막기 위해 무조건적으로 학생들에게 맞추고 있으며 그로 인해 남편이 수업에서 학생들과 수업을 관리하는 강사로서의 기본적인 권리를 잃게 되었다는 것입니다. 학생들은 수업에 자주 빠지고, 심지어 중간시험도 치르지 않은 경우도 많으며, 수업 중간에 나가기도 하며, 숙제를 전혀 하지 않고, 회화 연습 시간을 주면 아무도 입을 열지 않았습니다. 하지만 이에 대해 프로그램운영 측은 학생들에게 모든 것을 허락하고 심지어 남편에게 숙제를 내주지 말라는 요구까지 하였습니다.
전문적으로 영어를 진심으로 가르치고자 했던 남편은 그러한 상황으로 인해 극심한 스트레스를 받게 되었고 심지어 밤에 잠을 이루지 못하기가 다반사였습니다. 따라서 저희 부부는 극심한 스트레스와 남편의 건강을 고려해 일을 그만두는 것이 좋겠다 판단하였으며 5월 6일 프로그램운영측에 연락해 그만둘 의사를 밝혔습니다. 계약서에 따르면 프로그램운영이 프로페셔널하게 이루어 지지 않을 경우 강사는 그 즉시 일을 그만두어도 된다는 조항이 있습니다.
남편이 그만둔 후 남편의 수업은 동료의 부인에 의해 이루어지고 있으며 프로그램운영측이 5월 6일 하루동안 연락을 취했으나 그 이후 연락이 없어 저희는 일이 마무리 되었다고 여겼습니다. 그러나 급여날인 10일이 지나도 입금이 안되어 프로그램운영측에 연락을 하자 받은 대답이 임금을 지불하지 않을 것이며 고용노동부에 이에 대해 확인중이라는 것이었습니다.
저희도 노동고용부에 전화를 하여 문의하였습니다. 상담원께서는 계약과 그만둔 이유를 막론하고 일한 기간동안의 임금을 받아야 하며 일을 그만 둔 후 14일 이내에 지불해야 하기에 4일에 그만두었으므로 18일까지 기다린 후 계속 입금이 안되면 고용노동부에 진정서를 제출하라고 합니다. 오늘이 18일이며 입금이 이루어지지 않았습니다.
저희는 바로 고용노동부에 진정서를 제출하면 되나요?
진정서를 제출하면 저희 남편이 일한만큼의 급여를 정확히 받을 수있을까요?
추가수업으로 하루에 11시간을 근무하며 열심히 일했던 만큼 그에 대한 급여는 당연히 받아야 한다고 생각합니다.
저흰 어떻게 해야하는 건가요?